13779. Трапеция ABCD
, в которой AB=BC=CD
, вписана в окружность \Gamma
. На дуге AD
, не содержащей точки B
и C
, взята произвольная точка E
. Прямые BE
и AC
пересекаются в точке F
, а прямые CE
и BD
— в точке G
. Докажите, что:
а) площадь четырёхугольника FBCG
постоянна;
б) площади треугольников EFG
и EAD
пропорциональны отрезкам BC
и AD
.
Решение. Поскольку равны хорды AB
, BC
и CD
, то равны и вписанные углы AEB
, BEC
, CED
, ACB
и CBD
.
\angle FAE=\angle CAE=\angle CBE,
поэтому треугольник AEF
подобен треугольнику BEC
по двум углам. Аналогично, треугольник GED
подобен треугольнику BEC
. Кроме того, треугольник BCF
подобен треугольнику AEF
, а треугольник GBC
— треугольнику GED
. Таким образом, треугольники AEF
, BCF
, GBC
и GED
подобны.
а) Из подобия треугольников BCF
и GBC
получаем
\frac{BF}{GC}=\frac{CF}{BC}~\Rightarrow~BF\cdot BC=GC\cdot CF,
а так как BC=BA
и \angle ABE=\angle ACE
, то BF\cdot BA=GC\cdot CF
и
S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}BF\cdot BA\sin\angle ABE=\frac{1}{2}GC\cdot CF\sin\angle ACE=S_{\triangle FCG}.
Значит,
S_{FBCG}=S_{\triangle FBC}+S_{\triangle FCG}=S_{\triangle FBC}+S_{\triangle ABF}=S_{\triangle ABC},
Следовательно, площадь четырёхугольника FBCG
не зависит от положения точки E
на указанной дуге. Что и требовалось доказать.
б) Из подобия треугольников AEF
и GED
получаем
\frac{AE}{GE}=\frac{EF}{ED}~\Rightarrow~AE\cdot ED=GE\cdot EF,
поэтому
\frac{S_{\triangle EFG}}{S_{\triangle EAD}}=\frac{\frac{1}{2}GE\cdot EF\sin\angle BEC}{\frac{1}{2}AE\cdot ED\sin\angle AED}=\frac{\sin\angle BEC}{\sin\angle AED}.
Пусть R
— радиус окружности \Gamma
. Поскольку \Gamma
— описанная окружность треугольников BEC
и AED
, то
BC=2R\sin\angle BEC,~AD=2R\sin\angle AED.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle EFG}}{S_{\triangle EAD}}=\frac{BC}{AD}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2006, № 2, задача 3013 (2005, 105, 108), с. 118