13786. Точка M
— середина отрезка AB
. Точки R
и S
— проекции A
и B
на некоторую прямую, причём A
, M
и R
не лежат на одной прямой. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников AMR
и BSM
равны.
Решение. Пусть r_{A}
и r_{B}
— радиусы описанных окружностей треугольников AMR
и BSM
соответственно. Опустим перпендикуляр MM'
на прямую RS
. Поскольку прямые AR
, MM'
и BS
параллельны, точка M'
— середина отрезка RS
. Значит, треугольник RMS
равнобедренный, MR=MS
.
Из параллельности прямых AR
и BS
получаем, что
\angle MAR+\angle MBS=180^{\circ}.
Следовательно, по теореме синусов
r_{A}=\frac{MR}{2\sin\angle MAR}=\frac{MS}{2\sin(180^{\circ}-\angle MBS)}=\frac{MS}{2\sin\angle MBS}=r_{B}.
Что требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2006, № 6, задача 7, с. 381
Источник: Итальянские математические олимпиады. — 2002