13787. Точка C
лежит на отрезке BD
. Вершины A
и E
равносторонних треугольников ABC
и ECD
лежат по одну сторону от прямой BD
, Прямые AC
и BE
пересекаются в точке K
, а прямые CE
и AD
— в точке L
. Докажите, что KL\parallel BD
.
Решение. Поскольку
\angle BCE=\angle ACD=2\cdot60^{\circ}=120^{\circ},
а BC=AC
и CE=CD
, то треугольники BCE
и ACD
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle CBE=\angle CAD
. Тогда треугольники ACL
и BCK
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому CK=CL
, и треугольник KCL
равнобедренный. Значит,
\angle CKL=\angle CLK,
а так как
\angle KCL=ACL=60^{\circ},
то треугольник KCL
равносторонний, поэтому
\angle KLC=60^{\circ}=ECD=\angle LCD.
Следовательно, KL\parallel BD
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2006, № 7, задача M214, с. 428