13788. Диагонали AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке Q
. Продолжение стороны DA
за точку A
и продолжение стороны CB
за точку B
пересекаются в точке P
. Известно, что CD=CP=DQ
. Докажите, что \angle CAD=60^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle QCD=\alpha
, \angle BDA=\beta
. Тогда
\angle DQC=\angle QCD=\alpha,~\angle PCA=\angle BCA=\angle BDA=\beta,
а так как CQD
— внешний угол треугольника ADQ
, то
\angle CAD=\angle DAQ=\angle DQC-\angle QDA=\alpha-\beta.
Из равнобедренного треугольника CDQ
получаем
\angle CDQ=180^{\circ}-2\alpha,
а так как треугольник CDP
тоже равнобедренный, то
\angle APC=\angle DPC=\angle CDP=\angle CDQ+\angle BDA=180^{\circ}-2\alpha+\beta.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CAD=\angle APC+\angle PCA=(180^{\circ}-2\alpha+\beta)+\beta=
=180^{\circ}-2(\alpha-\beta)=180^{\circ}-2\angle CAD,
откуда \angle CAD=60^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2006, № 7, задача 2, с. 443
Источник: Британская математическая олимпиада. — 2001-2002