13789. Дан треугольник ABC
со сторонами AB=20
, AC=21
и BC=29
. Точки D
и E
лежат на стороне BC
, причём BD=8
и EC=9
. Найдите угол DAE
.
Решение. Обозначим \angle BAD=\alpha
, \angle DAE=\beta
, \angle EAC=\gamma
. Поскольку
AB^{2}+AC^{2}=20^{2}+21^{2}=400+441=841=29^{2}=BC^{2},
треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине A
. Следовательно,
\alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}.
Поскольку
BE=BD+DE=8+12=20=AB,
треугольник ABE
равнобедренный, поэтому
\angle AEB=\angle BAE=\alpha+\beta.
Аналогично,
\angle ADC=\angle CAD=\beta+\gamma.
Тогда из треугольника ADE
получаем, что
180^{\circ}=(\alpha+\beta)+(\beta+\gamma)+\beta=(\alpha+\beta+\gamma)+2\beta=90^{\circ}+2\beta,
откуда
\angle DAE=\beta=45^{\circ}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 1, задача 1, с. 28
Источник: Ирландские математические олимпиады. — 2005