13791. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
. Прямая BP
пересекает сторону AC
в точке Q
, а прямая CP
пересекает сторону AB
в точке R
. Известно, что AR=RB=CP
и CQ=PQ
. Найдите \angle BRC
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Пусть S
— отличная от R
точка пересечения описанных окружностей треугольников BPR
и RCA
. Тогда
\angle RSA=\angle RCA=\angle PCQ=\angle CPQ=\angle RPB=\angle BSR.
Значит, SR
— биссектриса треугольника ASB
, а так как SR
— медиана этого треугольника, то SB=SA
, поэтому \angle BRS=90^{\circ}
. Следовательно,
\angle QPS=\angle BPS=\angle BRS=90^{\circ}.
Тогда
\angle CPS=90^{\circ}-\angle CPQ=90^{\circ}-\angle BSR=\angle RBS=\angle ABS,
\angle SCP=\angle CSR=\angle SAR=\angle SAB.
Значит, треугольники ABS
и CPS
подобны по двум углам, а так как треугольник ABS
равнобедренный, то и треугольник CPS
равнобедренный, SP=SC
.
Кроме того, так как по условию CP=\frac{1}{2}AB
, то
\frac{PS}{BS}=\frac{CP}{AB}=\frac{1}{2},
поэтому \angle SBP=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle BRC=\angle BRS+\angle SRC=\angle BRS+\angle SRP=
=\angle BRS+\angle SBP=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 3, задача 1, с. 158
Источник: Японские математические олимпиады. — 2003