13795. Окружность S
описана около треугольника ABC
, в котором AB\lt AC
. Точка X
лежит на стороне AC
. Продолжение высоты AD
треугольника ABC
пересекает окружность S
в точке P
, а продолжение отрезка BX
пересекает окружность S
в точке Q
. Докажите, что BX=CX
тогда и только тогда, когда PQ
— диаметр окружности S
.
Решение. Пусть BX=CX
. Тогда
\angle XCB=\angle XBC=\angle QBC=\angle QAX.
Значит, AQ\parallel BC
, а так как AP\perp BC
, то AP\perp AQ
, т. е. \angle PAQ=90^{\circ}
.
Поскольку все рассуждения обратимы, верно и обратное утверждение.