1380. Через точку на стороне треугольника проведена прямая, параллельная другой стороне, до пересечения с третьей стороной треугольника. Через полученную точку проведена прямая, параллельная первой стороне треугольника и т. д. Докажите, что
а) если исходная точка совпадает с серединой стороны треугольника, то четвёртая точка, полученная таким способом, совпадёт с исходной;
б) если исходная точка отлична от середины стороны треугольника, то седьмая точка, полученная таким способом, совпадёт с исходной.
Решение. а) В этом случае проведённые прямые проходят через середины сторон треугольника.
б) Пусть точка M_{1}
расположена на стороне AB
треугольника ABC
и отлична от середины этой стороны; M_{2}
— точка на стороне BC
, причём M_{1}M_{2}\parallel AC
; M_{3}
— точка на стороне AC
, причём M_{2}M_{3}\parallel AB
и т. д.
Обозначим \frac{AM_{1}}{M_{1}B}=\frac{x}{y}
. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{BM_{2}}{M_{2}C}=\frac{y}{x},~\frac{CM_{3}}{M_{3}A}=\frac{x}{y},~\frac{AM_{4}}{M_{4}B}=\frac{y}{x},~\frac{BM_{5}}{M_{5}C}=\frac{x}{y},
\frac{CM_{6}}{M_{6}A}=\frac{y}{x},~\frac{AM_{7}}{M_{7}B}=\frac{x}{y}=\frac{AM_{1}}{M_{1}B}.
Следовательно, точка M_{7}
совпадает с точкой M_{1}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия — 8. Теория и задачи: Экспериментальное учебное пособие для 8 кл. — М.: РОСТ, МИРОС, 1996. — № 6.2.24, с. 62