13801. Сторона AB
прямоугольника ABCD
вдвое больше стороны BC
. Точка E
— середина стороны AD
. На продолжении стороны AD
за точку D
отложили отрезок DF
. Оказалось, что \angle CFD=30^{\circ}
. Найдите угол FBE
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Катет CD
прямоугольного треугольника CDF
вдвое меньше гипотенузы CF
, поэтому
BC=AD=2AB=2CD=CF.
Треугольник BCF
равнобедренный, причём
\angle BCF=180^{\circ}-\angle CFD=150^{\circ}.
Значит,
\angle EFB=\angle CBF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CBF)=15^{\circ}.
Кроме того, из равнобедренного прямоугольного треугольника BAD
находим, что \angle BAE=45^{\circ}
. Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle FBE=\angle BAE-\angle EFB=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 6, задача M261, с. 332