13802. В прямоугольном треугольнике OAB
с прямым углом при вершине O
проведена биссектриса OO'
. Точки D
и E
— основания перпендикуляров, опущенный из её основания O'
на катеты OA
и OB
соответственно. Отрезки OO'
и DE
пересекаются в точке F
, отрезки AE
и O'D
— в точке G
, отрезки BD
и O'E
— в точке H
. Докажите, что треугольник FGH
равнобедренный и прямоугольный с прямым углом при вершине F
.
Решение. Четырёхугольник ODO'E
— квадрат, поэтому FD=FO'
и \angle FDG=\angle FO'H=45^{\circ}
. Поскольку DG\parallel OE
и O'H\parallel AD
, треугольник DAG
подобен треугольнику OAE
, а треугольник HO'B
— треугольнику DAB
. Значит,
\frac{DG}{AD}=\frac{OE}{AO}=\frac{OD}{AD}=\frac{O'B}{AB}=\frac{O'H}{AD},
откуда DG=O'H
.
Треугольники FDG
и O'FH
подобны по двум сторонам и углу между ними (FD=FO'
, DG=O'H
, \angle FDG=\angle FO'H
), поэтому FG=FH
и \angle DFG=\angle O'FH
, а так как \angle DFO'=90^{\circ}
, то \angle GFH=90^{\circ}
. Следовательно, треугольник FGH
равнобедренный с прямым углом при вершине F
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 6, задача 3173 (2006, 396, 398), с. 380