13804. Найдите площадь выпуклого пятиугольника ABCDE
, если известно, что AB=BC
, CD=DE
, \angle ABC=150^{\circ}
, \angle CDE=30^{\circ}
и BD=2
.
Ответ. 1.
Решение. Обозначим AB=BC=p
, CD=DE=q
, AC=r
, CE=s
, \angle ACE=\theta
.
Поскольку
\angle ACB=15^{\circ},~\angle DCE=75^{\circ},
то
r=2p\cos15^{\circ},~s=2q\sin15^{\circ},
поэтому
rs=2p\cos15^{\circ}\cdot2q\sin15^{\circ}=2pq\cdot2\cos15^{\circ}\sin15^{\circ}=2pq\sin30^{\circ}=pq.
По теореме косинусов
4=BD^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq\cos(90^{\circ}+\theta)=p^{2}+q^{2}+2pq\sin\theta.
Следовательно,
S_{ABCDE}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle CDE}+S_{\triangle ACE}=
=\frac{1}{2}p^{2}\sin150^{\circ}+\frac{1}{2}q^{2}\sin30^{\circ}+\frac{1}{2}rs\sin\theta=
=\frac{1}{4}(p^{2}+q^{2}+2pq\sin\theta)=\frac{1}{4}\cdot4=1.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 7, задача 8, с. 420
Источник: Белорусская республиканская математическая олимпиада. — 2002