13806. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
, в котором AB=2AD
и BC=2CD
. Известно, что \angle BAD=\alpha
и AC=d
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{1}{2}d^{2}\sin\alpha
.
Решение. Обозначим \angle ADC=\varphi
. Поскольку AB=2AD
и BC=2CD
, то
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BA\cdot BC\sin\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot2AD\cdot2CD\sin\varphi=
=2AD\cdot CD\sin\varphi=4S_{\triangle ACD},
поэтому S_{\triangle ABC}=\frac{4}{5}S_{ABCD}
.
В то же время,
S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle CBD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin\alpha+\frac{1}{2}CB\cdot CD\sin(180^{\circ}-\alpha)=
=\frac{1}{2}\cdot2AD\cdot AD\sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot2CD\cdot CD\sin\alpha=(AD^{2}+CD^{2})\sin\alpha.
По теореме косинусов
d^{2}=AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2AD\cdot CD\cos\angle ADC=
=AD^{2}+CD^{2}-2AD\cdot CD\cos\varphi.
С другой стороны,
d^{2}=AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos(180^{\circ}-\varphi)=
=AB^{2}+BC^{2}+2AB\cdot BC\cos\varphi=4AD^{2}+4CD^{2}+8AD\cdot CD\cos\varphi.
Из двух полученных равенств для d^{2}
следует, что
8(AD^{2}+CD^{2})=5d^{2}.
Значит,
S_{\triangle ABC}=\frac{4}{5}S_{ABCD}=\frac{4}{5}(AD^{2}+CD^{2})\sin\alpha=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{8}d^{2}\sin\alpha=\frac{1}{2}d^{2}\sin\alpha.