13807. Точка E
— середина стороны AD
квадрата ABCD
, точки F
и G
— проекции точек соответственно C
и A
на прямую BE
. Докажите, что DF=CG
.
Решение. Обозначим \angle AEG=\angle CBF=\beta
. Тогда
\angle BFG=\angle AEG=\beta,
поэтому прямоугольные треугольники AGB
и BFC
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, BG=CF
.
Кроме того,
\angle DCF=90^{\circ}-\angle BCF=90^{\circ}-(90^{\circ}-\beta)=\beta=\angle CBG.
Значит, треугольники CDF
и BCG
равны по двум сторонам (CF=BG
, BC=CD
) и углу между ними. Следовательно, DF=CG
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Утверждение задачи верно для любой точки E
прямой AD
.