1381. Через точку O
пересечения биссектрис треугольника ABC
проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная AB
, пересекает AC
и BC
в точках M
и N
соответственно, а прямые, параллельные AC
и BC
пересекают AB
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, MN=AM+BN
, а периметр треугольника OPQ
равен длине отрезка AB
.
Указание. Треугольники AOM
и BON
— равнобедренные.
Решение. Поскольку OM\parallel AB
, то
\angle AOM=\angle OAP=\angle OAM,
поэтому треугольник AOM
— равнобедренный, AM=OM
. Аналогично, BN=ON
. Следовательно,
AM+BN=OM+ON=MN.
Поскольку AMOP
и BNOQ
— параллелограммы, диагонали AO
и BO
которых являются биссектрисами углов, то это ромбы. Следовательно,
OP+OQ+PQ=AP+BQ+PQ=AB.
Что и требовалось доказать.