13812. Пусть AB
— диаметр полуокружности \Gamma
, D
— точка на касательной к \Gamma
в точке B
, лежащая по ту же сторону от прямой AB
, что и полуокружность \Gamma
, а C
— середина отрезка BD
. Отрезки AC
и AD
вторично пересекают полуокружность в точках K
и L
соответственно, а M
и N
— проекции точек соответственно A
и B
на прямую KL
. Докажите, что ML=LK=KN
.
Решение. Пусть P
— точка пересечения луча NB
с окружностью, часть которой — полуокружность \Gamma
. Тогда
\angle NPL=\angle BPL=\angle BAL=\angle BAD,~\mbox{и}~\angle BPK=\angle BAK,
поэтому прямоугольные треугольники DAB
и LPN
подобны, а так как AC
— медиана треугольника DAB
, то PK
— соответствующая медиана треугольника LPN
. Следовательно, KL=KN
.
Пусть X
— проекция центра O
полуокружности \Gamma
на прямую MN
. Тогда X
— середина хорды KL
(см. задачу 1676). С другой стороны, поскольку O
середина отрезка AB
, а прямая OX
параллельна AM
и BN
, то X
— середина отрезка MN
. Следовательно,
KL=KN=NX-KX=\frac{1}{2}MN-\frac{1}{2}KL=MX-LX=ML,
так как KL=KN=ML
. Что и требовалось доказать.