13813. Точки A'
, B'
и C'
симметричны центру I
вписанной окружности треугольника ABC
относительно сторон BC
, AC
и AB
соответственно. Известно, что вершина B
лежит на описанной окружности треугольника A'B'C'
. Найдите угол ABC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Обозначим, \angle ABC=\beta
. Пусть X
, Y
и Z
— середины отрезков IA'
, IB'
и IC'
соответственно. Тогда отрезки IX
, IY
и IZ
перпендикулярны сторонам BC
, AC
и AB
соответственно, а также IX=IY=IZ
как радиусы вписанной окружности треугольника ABC
. Значит, I
— центр описанной окружности треугольника XYZ
.
Отрезки XY
и YZ
— средние линии треугольников A'IB'
и B'IC'
соответственно, поэтому XY\parallel A'B'
и YZ\parallel B'C'
, а так как XYX
— центральный угол описанной окружности треугольника XYZ
, то
\angle A'B'C'=\angle XYZ=\frac{1}{2}\angle XIZ=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=
=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
С другой стороны, из симметрии
\angle IBA'=2\angle IBC=2\cdot\frac{\beta}{2}=\beta.
Аналогично, \angle IBC'=\beta
, поэтому \angle A'BC'=2\beta
. Следовательно,
2\beta=\angle A'BC'=180^{\circ}-\angle A'B'C'=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=90^{\circ}+\frac{\beta}{2},
откуда находим, что \beta=60^{\circ}
.