13815. Восемь равных окружностей касаются внешним образом большей окружности единичного радиуса, а каждая из указанных восьми касается двух из семи остальных. Найдите радиус восьми меньших окружностей.
Решение. Пусть O_{i}
(i=1{,}2,\dots,8
) — центр i
-той окружности из восьми равных, O
— центр единичной окружности, r
— радиус каждой из восьми равных окружностей.
Обозначим \angle O_{1}OO_{2}=\alpha
. Тогда 8\alpha=360^{\circ}
, поэтому \alpha=45^{\circ}
. Учитывая, что
OO_{1}=OO_{2}=1+r~\mbox{и}~O_{1}O_{2}=2r,
по теореме косинусов из треугольника O_{1}OO_{2}
получаем, что
4r^{2}=(1+r)^{2}+(1+r)^{2}-2(r+1)(r+1)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~4r^{2}=(2-\sqrt{2})(r+1)^{2}~\Leftrightarrow~2r=(r+1)(2-\sqrt{2})
(так как r\gt0
). Из последнего равенства находим, что
r=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}.