13819. Точка P
лежит внутри равностороннего треугольника ABC
. Лучи AP
, BP
и CP
пересекают стороны BC
, AC
и AB
в точках A'
, B'
и C'
соответственно. Найдите положение точки P
, если
AC'+CB'+BA'=A'C+C'B+B'A.
Ответ. Точка P
лежит на медиане треугольника ABC
.
Решение. Пусть стороны треугольника ABC
равны 1. Обозначим AC'=x
, BA'=y
, CB'=z
. Тогда C'B=1-x
, A'C=1-y
, B'A=1-z
.
Из равенства
x+y+z=(1-x)+(1-y)+(1-z)
получаем, что
x+y+z=\frac{3}{2}.
По теореме Чевы
\frac{x}{1-x}\cdot\frac{y}{1-y}\cdot\frac{z}{1-z}=1~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~xyz=(1-x)(1-y)(1-z)~\Leftrightarrow~xyz=(1-x)(1+yz-y-z)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~xyz=1+yz-y-z-x-xyz+xy+xz~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2xyz-(xy+xz-yz)+(x+y+z)-1=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~xyz-\frac{1}{2}(xy+xz-yz)+\frac{1}{2}(x+y+z)-\frac{1}{2}=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~xyz-\frac{1}{2}(xy+xz-yz)+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~xyz-\frac{1}{2}(xy+xz-yz)+\frac{1}{4}=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~xyz-\frac{1}{2}(xy+xz-yz)+\frac{3}{8}-\frac{1}{8}=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~xyz-\frac{1}{2}(xy+xz-yz)+\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{2}-\frac{1}{8}=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~xyz-\frac{1}{2}(xy+xz-yz)+\frac{1}{4}(x+y+z)-\frac{1}{8}=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(z-\frac{1}{2}\right)=0
Следовательно, либо x=\frac{1}{2}
, либо y=\frac{1}{2}
, либо z=\frac{1}{2}
, т. е. точка P
лежит на медиане треугольника ABC
.