13823. Дан равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=AC
и \angle BAC=100^{\circ}
. На продолжении стороны AB
за точку B
отмечена точка D
, причём AD=BC
. Найдите \angle ADC
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Первый способ. На отрезке AD
построим равносторонний треугольник ADE
с вершиной E
лежащей с точкой C
по одну сторону от прямой AD
. Тогда
AE=AD=BC,~AC=AB,
\angle EAC=\angle BAC-\angle BAE=100^{\circ}-60^{\circ}=40^{\circ}=\angle ABC,
поэтому треугольник CAE
равен треугольнику ABC
. Значит, CE=CA
, а так как DE=DA
, то CD
— серединный перпендикуляр к отрезку AE
. Тогда DC
— биссектриса угла ADE
. Следовательно,
\angle ADC=\frac{1}{2}\angle ADE=30^{\circ}.
Второй способ. Обозначим \angle ADC=\alpha
. Тогда
\angle ACD=180^{\circ}-100^{\circ}-\alpha=80^{\circ}-\alpha.
По теореме синусов из треугольников ABC
и ACD
получаем
\frac{AC}{\sin40^{\circ}}=\frac{BC}{\sin100^{\circ}}~\mbox{и}~\frac{AC}{\sin\alpha}=\frac{AD}{\sin(80^{\circ}-\alpha)},
а так как AD=BC
, то
\sin(80^{\circ}-\alpha)\sin40^{\circ}=\sin\alpha\sin100^{\circ}~\Rightarrow
\Rightarrow~\sin(80^{\circ}-\alpha)\sin40^{\circ}=\sin\alpha\cdot2\sin50^{\circ}\cos50^{\circ}~\Rightarrow
\Rightarrow~\sin(80^{\circ}-\alpha)\sin40^{\circ}=\sin\alpha\cdot2\cos40^{\circ}\sin40^{\circ}~\Rightarrow
\Rightarrow~\sin(80^{\circ}-\alpha)=2\sin\alpha\cos50^{\circ}~\Rightarrow
\Rightarrow~\sin80^{\circ}\cos\alpha-\sin\alpha\cos80^{\circ}=2\sin\alpha\cos40^{\circ}~\Rightarrow
\Rightarrow~\tg80^{\circ}=\frac{\sin80^{\circ}}{2\cos40^{\circ}+\cos80^{\circ}}=\frac{\cos10^{\circ}}{2\cos(30^{\circ}+10^{\circ})+\cos80^{\circ}}.
Учитывая, что \alpha\ne90^{\circ}
, разделим обе части этого равенства на \cos\alpha
. Получим
\sin80^{\circ}-\tg\alpha\cos80^{\circ}=2\tg\alpha\cos40^{\circ},
откуда
\tg\alpha=\frac{\sin80^{\circ}}{\cos80^{\circ}+2\cos40^{\circ}}=\frac{\cos10^{\circ}}{2\cos(30^{\circ}+10^{\circ})+\sin10^{\circ}}=
=\frac{\cos10^{\circ}}{2\cos30^{\circ}\cdot\cos10^{\circ}-2\sin30^{\circ}\cdot\sin10^{\circ}+\sin10^{\circ}}=\frac{\cos10^{\circ}}{\sqrt{3}\cos10^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Следовательно, \alpha=30^{\circ}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 4, задача 3250 (2007, с. 239, 240), с. 255