13832. Точка P
равноудалена от прямых k
и l
. Точки A
и B
— проекции точки P
на k
и l
соответственно, а M
и N
— произвольные точки прямых k
и l
соответственно. Докажите, что следующие утверждения равносильны:
а) PN\perp BM
;
б) PM\perp AN
;
в) MN^{2}=AM^{2}+BN^{2}
.
Решение. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны (см. задачу 1344). Значит,
PN\perp BM~\Leftrightarrow~PM^{2}+BN^{2}=MN^{2}+PB^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~PM^{2}+BN^{2}=MN^{2}+PA^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~PM^{2}+BN^{2}=MN^{2}+(PM^{2}-AM^{2})~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AM^{2}+BN^{2}=MN^{2}.
Аналогично,
PM\perp AN~\Leftrightarrow~AM^{2}+BN^{2}=MN^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 6, задача 3270 (2007, с. 367, 370), с. 376