13833. Точка I
— центр вписанной окружности равнобедренного треугольника ABC
с основанием AB
. Точка P
лежит на дуге описанной окружности треугольника AIB
, расположенной внутри треугольника ABC
. Прямые, проходящие через точку P
параллельно AC
и BC
, пересекают основание AB
в точках D
и E
соответственно, а прямая, проходящая через точку P
параллельно AB
, пересекает стороны AC
и BC
в точках F
и G
соответственно. Докажите, что прямые DF
и GE
пересекаются на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Обозначим
\angle BAC=\angle ABC=\angle PDE=\angle PED=\angle CFG=\angle CGF=\alpha,
\angle ACB=\gamma,~\angle DFP=\varphi,~\angle BPG=\angle PBA=\psi.
Тогда
\angle APB=\angle AIB=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}=\left(\frac{\gamma}{2}+\alpha\right)+\frac{\gamma}{2}=\alpha+\gamma,
\angle APF=\angle PAB=180^{\circ}-\angle APB-\angle PBA=180^{\circ}-(\alpha+\gamma)-\psi=
=(180^{\circ}-\gamma)-\alpha-\psi=2\alpha-\alpha-\psi=\alpha-\psi,
\angle GBP=\angle ABG-\angle ABP=\alpha-\psi,~
\angle PAF=\angle BAF-\angle PAB=\alpha-(\alpha-\psi)=\psi.
Треугольники AFP
и PGB
подобны по двум углам, так как
\angle ADP=180^{\circ}-\alpha=\angle BGP~\mbox{и}~\angle DAP=\angle APF=\alpha-\psi=\angle GBP,
а ADPF
и BGPE
— параллелограммы, поэтому
\frac{AF}{AD}=\frac{AF}{FP}=\frac{PG}{BG}=\frac{PG}{PE}.
Кроме того,
\angle DAF=\alpha=\angle EPG,
значит, треугольники GEP
и FDA
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle EGP=\angle DFA=180^{\circ}-\alpha-\varphi=(2\alpha+\gamma)-\alpha-\varphi=\alpha+\gamma-\varphi.
Пусть прямые EG
и FD
пересекаются в точке U
. Тогда
\angle FUG=180^{\circ}-\angle DFP-\angle EGP=
=(2\alpha+\gamma)-\varphi-(\alpha+\gamma-\varphi)=\alpha=\angle DBG,
поэтому точки D
, U
, B
и G
лежат на одной окружности, а так как DPGB
— равнобедренная трапеция, то точки D
, P
, G
и B
тоже лежат одной окружности, причём на той же. Значит,
\angle GUB=\angle GPB=\psi.
Аналогично получим, что
\angle FUA=\angle FPA=\alpha-\psi,
поэтому
\angle AUB=\angle FUA+\angle FUG+\angle GUB=(\alpha-\psi)+\alpha+\psi=2\alpha.
Тогда
\angle AUB+\angle ACB=2\alpha+(180^{\circ}-2\alpha)=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник AUBC
вписанный, т. е. точка U
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.