13835. Пусть A
и B
— различные точки, лежащие на окружности. На касательной к окружности, проведённой в точке B
, отмечена точка C
так, что треугольник ABC
равнобедренный с основанием BC
. Биссектриса угла ABC
пересекает AC
в точке D
, лежащей внутри окружности. Докажите, что \angle ABC\gt72^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, а D'
— точка пересечения луча BD
с окружностью. Обозначим
\angle ABD=\angle DBC=\beta,~\angle ABO=\gamma.
Из теоремы об угле между касательной и хордой получаем, что
\angle D'AB=\angle D'BC=\beta.
Поскольку BC
— касательная к окружности, то
2\beta+\gamma=\angle OBC=90^{\circ}~\Rightarrow~4\beta+2\gamma=180^{\circ},
а так как сумма углов треугольника ABC=180^{\circ}
равна 180^{\circ}
, то
4\beta+\angle CAB=180^{\circ}.
Учитывая, что луч AD
проходит между сторонами угла D'AB
, из этих равенств получаем
\beta=\angle D'AB\gt\angle CAB=2\gamma~\Rightarrow~\frac{\beta}{2}\gt\gamma.
Тогда
\frac{5}{2}\beta=2\beta+\frac{\beta}{2}\gt2\beta+\gamma=90^{\circ},
откуда \beta\gt36^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=2\beta\gt72^{\circ}.
Что и требовалось доказать.