13835. Пусть
A
и
B
— различные точки, лежащие на окружности. На касательной к окружности, проведённой в точке
B
, отмечена точка
C
так, что треугольник
ABC
равнобедренный с основанием
BC
. Биссектриса угла
ABC
пересекает
AC
в точке
D
, лежащей внутри окружности. Докажите, что
\angle ABC\gt72^{\circ}
.
Решение. Пусть
O
— центр окружности, а
D'
— точка пересечения луча
BD
с окружностью. Обозначим
\angle ABD=\angle DBC=\beta,~\angle ABO=\gamma.

Из теоремы об угле между касательной и хордой получаем, что
\angle D'AB=\angle D'BC=\beta.

Поскольку
BC
— касательная к окружности, то
2\beta+\gamma=\angle OBC=90^{\circ}~\Rightarrow~4\beta+2\gamma=180^{\circ},

а так как сумма углов треугольника
ABC=180^{\circ}
равна
180^{\circ}
, то
4\beta+\angle CAB=180^{\circ}.

Учитывая, что луч
AD
проходит между сторонами угла
D'AB
, из этих равенств получаем
\beta=\angle D'AB\gt\angle CAB=2\gamma~\Rightarrow~\frac{\beta}{2}\gt\gamma.

Тогда
\frac{5}{2}\beta=2\beta+\frac{\beta}{2}\gt2\beta+\gamma=90^{\circ},

откуда
\beta\gt36^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=2\beta\gt72^{\circ}.

Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 8, задача 2, с. 465
Источник: Ирландские математические олимпиады. — 2004