13837. Углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что
\sin\alpha+\sin\beta\sin\gamma\leqslant\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Когда достигается равенство?
Ответ. \alpha=\arcsin\frac{2}{\sqrt{5}}
, \beta=\gamma=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\arcsin\frac{2}{\sqrt{5}}\right)
.
Решение. Учитывая, что
\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ},
по формулам тригонометрии получаем
\sin\alpha+\sin\beta\sin\gamma\leqslant\frac{1+\sqrt{5}}{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\sin\alpha+2\sin\beta\sin\gamma\leqslant1+\sqrt{5}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\sin\alpha+\cos(\beta-\gamma)-\cos(\beta+\gamma)\leqslant1+\sqrt{5}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\sin\alpha+\cos(\beta-\gamma)-\cos(180^{\circ}-\alpha)\leqslant1+\sqrt{5}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\sin\alpha+\cos(\beta-\gamma)+\cos\alpha\leqslant1+\sqrt{5}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(2\sin\alpha+\cos\alpha)+\cos(\beta-\gamma)\leqslant1+\sqrt{5}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sqrt{5}\sin(\alpha+\varphi)+\cos(\beta-\gamma)\leqslant1+\sqrt{5},
где \cos\varphi=\frac{2}{\sqrt{5}}
(0^{\circ}\leqslant\varphi\leqslant90^{\circ}
). Последнее неравенство верно, так как
\sqrt{5}\sin(\alpha+\varphi)\leqslant\sqrt{5}~\mbox{и}~\cos(\beta-\gamma)\leqslant1.
Равенство достигается для треугольника, в котором
\sqrt{5}\sin(\alpha+\varphi)=\sqrt{5}~\mbox{и}~\cos(\beta-\gamma)=1,
т. е.
\sin(\alpha+\varphi)=1~\mbox{и}~\cos(\beta-\gamma)=1,
\alpha=90^{\circ}-\arccos\frac{2}{\sqrt{5}}=\arcsin\frac{2}{\sqrt{5}}~\mbox{и}~\beta=\gamma=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\arcsin\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 8, задача 3297 (2007, с. 486, 488), с. 499