13838. Точка M
— середина основания BC
равнобедренного треугольника ABC
, P
— произвольная точка, лежащая на отрезке BM
. Прямая, проведённая через точку P
перпендикулярно BC
, пересекает сторону AB
в точке K
, а продолжение стороны CA
— в точке T
. Докажите, что сумма PK+PT
не зависит от положения точки P
на отрезке BM
.
Решение. Треугольники MBA
и PBK
подобны, так как MA\parallel PK
, поэтому
\frac{PK}{PB}=\frac{MA}{MB}~\Rightarrow~PK=\frac{PB\cdot MA}{MB}.
Аналогично, из подобия треугольников CPT
и CMA
получаем, что PT=\frac{PC\cdot MA}{MC}
. Значит,
PK+PT=\frac{PB\cdot MA}{MB}+\frac{PC\cdot MA}{MC}=\frac{(PB+PC)\cdot MA}{MB}=\frac{BC\cdot MA}{MB}=2MA,
а так как MA
не зависит от положения точки P
на отрезке BM
, отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 1, задача M340, с. 14