13839. AE
и CD
— биссектрисы треугольника ABC
. Какова величина угла ABC
, если:
а) AD+EC=AC
;
б) AD+EC\gt AC
;
в) AD+EC\lt AC
?
Ответ. а) \angle ABC=60^{\circ}
; б) \angle ABC\lt60^{\circ}
; в) \angle ABC\gt60^{\circ}
.
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
, AB=c
, \angle ABC=\beta
. По свойству биссектрисы треугольника находим, что
EC=\frac{ab}{b+c},AD=\frac{bc}{a+b},
поэтому
AD+EC-AC=\frac{bc}{a+b}+\frac{ab}{b+c}-b=b\left(\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}-1\right)=
=\frac{b(bc+c^{2}+a^{2}+ab-ab-ac-b^{2}-bc)}{(a+b)(b+c)}=
=\frac{b(c^{2}+a^{2}-b^{2}-ac)}{(a+b)(b+c)}=\frac{b(2ac\cos\beta-ac)}{(a+b)(b+c)}=\frac{2abc\left(\cos\beta-\frac{1}{2}\right)}{(a+b)(b+c)}.
Следовательно,
\mbox{а})~~AD+EC=AC~\Leftrightarrow~\beta=60^{\circ};
\mbox{б})~~AD+EC\gt AC~\Leftrightarrow~\beta\lt60^{\circ};
\mbox{в})~~AD+EC\lt AC~\Leftrightarrow~\beta\gt60^{\circ}.