1384. Диагонали параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
. Докажите, что точки пересечения биссектрис каждого из треугольников ABO
, BCO
, CDO
и DAO
являются вершинами ромба.
Указание. Докажите, что диагонали указанного четырёхугольника взаимно перпендикулярны и делятся точкой их пересечения пополам.
Решение. Пусть M
, N
, K
и L
— точки пересечения биссектрис треугольников ABO
, BCO
, CDO
и DAO
соответственно. Тогда прямые MK
и NL
проходят через точку O
и MK\perp NL
.
Треугольники BOM
и DOK
равны по стороне (OB=OD
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому MO=OK
. Аналогично NO=OL
. Значит, MNKL
— параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, т. е. ромб.
Примечание. Если ABCD
— ромб, то четырёхугольник KLMN
— квадрат.