13840. Различные точки A
, B
и C
расположены на окружности \Gamma
. Прямые h
и g
, перпендикулярные AB
, проходят через точки B
и C
соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку AB
пересекает прямую h
в точке F
, а серединный перпендикуляр к отрезку AC
пересекает прямую g
в точке G
. Докажите, что при фиксированных точках B
и C
произведение BF\cdot CG
не зависит от выбора точки A
на окружности \Gamma
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Для остальных случаев решение аналогично.
Пусть радиус окружности \Gamma
равен R
, A'
— точка, диаметрально противоположная точке A
, B'
и C'
— вторые точки пересечения с окружностью \Gamma
прямых g
и h
соответственно, а M
и N
— середины отрезков AB
и AC
соответственно.
Отрезки BB'
и CC'
— диаметры окружности \Gamma
, поэтому AC'A'C
и ABA'B'
— прямоугольники. Значит,
C'A'=CA~\mbox{и}~A'B'=AB.
Поскольку
\angle FBM=\angle C'BM=\angle C'BA=\angle CA'A,
прямоугольные треугольники BMF
и A'C'A
подобны. Аналогично, подобны прямоугольные треугольники CNG
и A'B'A
. Значит,
\frac{BF}{AA'}=\frac{BM}{C'A'}=\frac{\frac{1}{2}AB}{CA}~\mbox{и}~\frac{CG}{AA'}=\frac{CN}{A'B'}=\frac{\frac{1}{2}CA}{AB},
откуда
BF\cdot CG=\frac{1}{4}AA'^{2}=R^{2}.
Следовательно, произведение BF\cdot CG
не зависит от выбора точки A
на окружности \Gamma
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 1, задача 2, с. 33
Источник: Немецкие математические олимпиады. — 2005