13846. Вписанная окружность с центром I
треугольника ABC
касается сторон AC
и AB
в точках E
и F
соответственно. Точка M
лежит на отрезке EF
. Докажите, что треугольники MAB
и MAC
равновелики тогда и только тогда, когда MI\perp BC
.
Решение. Обозначим AC=b
, AB=c
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
.
Пусть P
и Q
— проекции точки M
на стороны AC
и AB
соответственно. Точка M
лежит на отрезке EF
, поэтому она расположена внутри треугольника ABC
, а так как треугольник EAF
равнобедренный, то \angle MFQ=\angle MEP
, поэтому прямоугольные треугольники MQF
и MPE
подобны. Значит, \frac{MQ}{MP}=\frac{MF}{ME}
.
Треугольники MAB
и MAC
равновелики тогда и только тогда, когда c\cdot MQ=b\cdot MP
, или \frac{b}{c}=\frac{MQ}{MP}
, поэтому достаточно доказать, что MI\perp BC
тогда и только тогда, когда \frac{b}{c}=\frac{MF}{ME}
.
Пусть точка M
лежит на прямой ID
, где D
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
(ID\perp
). Четырёхугольник BDIF
вписан в окружность с диаметром BI
, поэтому
\angle MIF=\angle DBF=\beta.
Аналогично,
\angle MIE=\angle DCE=\gamma,
а так как IE=IF
как радиусы вписанной окружности треугольника ABC
, то по теореме синусов из треугольников MFI
и MEI
получаем
\frac{MF}{\sin\beta}=\frac{IF}{\sin\angle IMF}=\frac{IE}{\sin(180^{\circ}-\angle IMF}=\frac{ME}{\sin\gamma}.
Таким образом,
\frac{MF}{ME}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{b}{c}.
Следовательно, если MI\perp BC
, то треугольники MAB
и MAC
равновелики.
Пусть теперь треугольники MAB
и MAC
равновелики. Докажем, что MI\perp BC
. Предположим, что прямая ID
пересекает отрезок EF
в точке M'
. Тогда из предыдущих рассуждений следует, что \frac{M'F}{M'E}=\frac{b}{c}
. Из единственности такой точки получаем, что M'
совпадает с M
. Отсюда следует доказываемое утверждение.