13855. Точка I
— центр вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине A
, а BD
и CF
— биссектрисы треугольника. Докажите, что
\frac{BI\cdot ID}{CI\cdot IE}=\frac{AB}{AC}.
Решение. Поскольку
\angle BIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}
(см. задачу 4770), а I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, то
\angle CID=\angle BIE=45^{\circ}=\angle CAI=\angle BAI.
Треугольники CID
и CAI
с общим углом при вершине C
подобны, поэтому \frac{ID}{CI}=\frac{AI}{AC}
. Аналогично, \frac{BI}{IE}=\frac{AB}{AI}
. Перемножив эти равенства, получим
\frac{BI\cdot ID}{CI\cdot IE}=\frac{AB}{AC}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 5, задача 3352 с. 333