1386. Угол при вершине A
ромба ABCD
равен 60^{\circ}
. На сторонах AB
и BC
взяты соответственно точки M
и N
, причём AM=BN
. Докажите, что треугольник MDN
— равносторонний.
Указание. Рассмотрите поворот на 60^{\circ}
вокруг точки D
.
Решение. Первый способ. При повороте на 60^{\circ}
по часовой стрелке вокруг точки D
вершина B
переходит в вершину C
, вершина A
— в вершину B
, луч AB
— в луч BC
, а так как AM=BN
, то точка M
переходит в точку N
. Следовательно, треугольник MDN
— равносторонний.
Второй способ. Треугольники AMD
и BND
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, DM=DN
. Кроме того,
\angle MDN=\angle MDB+\angle BDN=\angle MDB+\angle ADM=\angle ADB=60^{\circ}.
Следовательно, треугольник MDN
— равносторонний.
Источник: Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олимпиад. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1971. — № 622, с. 68
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.91