13869. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
, в котором диагональ AC
делит пополам угол BAD
. На продолжении стороны AD
за точку D
отмечена точка E
. Докажите, что CE=CA
тогда и только тогда, когда DE=AB
.
Решение. Пусть CE=CA
. Тогда
\angle DEC=\angle DAC=\angle BAC,
а так как четырёхугольник ABCD
вписанный, то
\angle CDE=180^{\circ}-\angle ADC=\angle ABC.
Кроме того,
\angle DCE=180^{\circ}-\angle DEC-\angle CDE=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=\angle ACB.
Значит, треугольники CDE
и CBA
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, DE=AB
.
Пусть теперь DE=AC
. Равные вписанные углы опираются на равные хорды, поэтому CD=CB
, а так как
\angle CDE=180^{\circ}-\angle ADC=\angle ABC,
то треугольники CDE
и CBA
равны по двум сторонам углу между ними. Следовательно, CE=CA
.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 8, задача 3, с. 509
Источник: Британская математическая олимпиада. — 2005-2006