13872. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
без параллельных сторон. Прямые, проведённые через точки A
и C
перпендикулярно AC
, и прямые, проведённые через точки B
и D
перпендикулярно BD
, образуют параллелограмм. Докажите, что:
а) его центр совпадает с центром описанной окружности четырёхугольника ABCD
;
б) продолжения противоположных сторон четырёхугольника ABCD
пересекаются на продолжениях диагоналей параллелограмма.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
а) Центр параллелограмма равноудалён от концов отрезка AC
, поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
. Аналогично, центр параллелограмма лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BD
. Отрезки AC
и BD
— хорды описанной окружности четырёхугольника ABCD
, следовательно, точка пересечения их серединных перпендикуляров, т. е. центр параллелограмма, есть центр этой окружности.
б) Пусть вершины A
, B
, C
и D
данного четырёхугольника ABCD
лежат на сторонах соответственно HE
, EF
, FG
и GH
параллелограмма HE
, EF
, FG
и GH
параллелограмма HEFG
. Тогда \angle AHD=\angle BFC
и
\angle DAH=90^{\circ}-\angle CAD=90^{\circ}-\angle CBD=\angle CBF,
поэтому треугольники ADH
и BCF
подобны по двум углам. Аналогично, подобны треугольники ABE
и DCG
. Значит,
\frac{DH}{AH}=\frac{CF}{BF}~\mbox{и}~\frac{AE}{DG}=\frac{BE}{CG}.
Пусть прямая EG
пересекает прямые AD
и BC
в точках I
и J
соответственно. По теореме Менелая для треугольников EGH
, EGF
и прямых соответственно AD
и BC
получаем
\frac{EI}{IG}\cdot\frac{GD}{DH}\cdot\frac{HA}{AE}=1~\mbox{и}~\frac{EJ}{JG}\cdot\frac{GC}{CF}\cdot\frac{FB}{BE}=1,
откуда
\frac{EI}{IG}=\frac{DH}{GD}\cdot\frac{AE}{HA}=\frac{DH}{HA}\cdot\frac{AE}{GD}=\frac{CF}{BF}\cdot\frac{BE}{CG}=\frac{CF}{CG}\cdot\frac{BE}{FB}=\frac{EJ}{JG}.
Значит, точки I
и J
совпадают. Следовательно, прямые AD
и BC
пересекаются на прямой EG
. Аналогично, прямые AB
и CD
пересекаются на прямой FG
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.