13873. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE
, в котором
\angle BAC=\angle CAD=\angle DAE,~\angle ABC=\angle ACD=\angle ADE.
Диагонали BD
и CE
пересекаются в точке P
. Докажите, что прямая AP
проходит через середину стороны CD
.
Решение. Треугольники ABC
, ACD
и ADE
подобны по двум углам, а коэффициенты подобия пары ACD
и ABC
равен коэффициенту подобия пары ADE
и ACD
.
Рассмотрим поворотную гомотетию с центром A
, при которой вершина B
переходит в C
. Вершина C
при этом переходит в D
, вершина D
— в E
, а диагональ BD
— в диагональ CE
. Значит, точка U
пересечения BD
и AC
в точку V
пересечения AD
и CE
. Тогда \frac{UA}{UC}=\frac{VA}{VD}
.
Пусть P
— точка пересечения прямой AP
со стороной CD
. По теореме Чевы
1=\frac{AU}{UC}\cdot\frac{CW}{WD}\cdot\frac{DV}{VA}=\left(\frac{AU}{UC}\cdot\frac{DV}{VA}\right)\cdot\frac{CW}{WD}=\frac{CW}{WD}.
Следовательно, CW=WD
. Что и требовалось доказать.