13878. Данная прямая l
проходит через конец A
данного отрезка AB
, но не проходит через B
; C
— произвольная точка луча с началом A
, лежащего на прямой l
; вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон BC
и AC
в точках D
и E
соответственно. Докажите, что все прямые DE
проходят через фиксированную точку, не зависящую от положения точки C
на указанном луче.
Решение. На луче AC
отложим отрезок AG=AB
. Докажем, что все прямые DE
проходят через середину отрезка BG
.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AB
в точке F
. Тогда
BD=BF=AB-AF=AG-AE=GE.
Пусть S
— точка пересечения отрезков DE
и BG
. По теореме Менелая для треугольника BCG
и прямой DE
, учитывая, что BD=GE
и CD=CE
, получаем
1=\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EG}\cdot\frac{GS}{SB}=\frac{GS}{SB},
т. е. S
— середина фиксированного отрезка BG
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 5, задача 5, с. 291
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2009