13879. На сторонах данного угла с вершиной A
расположены точки B
и C
, причём сумма расстояний от них до вершины угла постоянна. Докажите, что существует такая точка D
, отличная от A
, что описанная окружность треугольника ABC
проходит через D
при любом указанном выше выборе точек B
и C
на сторонах данного угла.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что AB\lt AC
.
Пусть AB+AC=m
, где m
— постоянная величина. На сторонах угла AB
и AC
данного угла BAC
отложим отрезки AB_{1}
и AC_{1}
, равные \frac{m}{2}
. Пусть D
— отличная от A
точка пересечения описанной окружности равнобедренного треугольника AB_{1}C_{1}
с биссектрисой угла BAC
. Тогда AD
— диаметр этой окружности, а прямоугольные треугольники DB_{1}B
и DC_{1}C
равны по двум катетам, поскольку DB_{1}=DC_{1}
, так как точка D
лежит на биссектрисе данного угла, и
BB_{1}=AB_{1}-AB=\frac{m}{2}-(m-AC)=AC-\frac{m}{2}=AC-AC_{1}=CC_{1}.
Тогда \angle B_{1}DB=\angle C_{1}DC
. Отсюда получаем
\angle BDC=\angle B_{1}DC_{1}=180^{\circ}-\angle B_{1}AC_{1}=180^{\circ}-\angle BAC.
Следовательно, точки A
, B
, C
и D
лежат на одной окружности, т. е. точка D
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.