1388. Треугольник ABC
— равносторонний; A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон BC
, AC
, AB
соответственно. Докажите, что прямая A_{1}C_{1}
касается окружности, проходящей через точки A_{1}
, B_{1}
, C
.
Указание. Через точку A_{1}
проведите касательную к указанной окружности и докажите, что она совпадает с прямой A_{1}C_{1}
.
Решение. Через точку A_{1}
проведём касательную к указанной окружности. Пусть она пересекает прямую AB
в точке M
. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
\angle MA_{1}B_{1}=\angle A_{1}CB_{1}=60^{\circ},
а так как A_{1}C_{1}
и A_{1}B_{1}
— средние линии треугольника ABC
, то \angle C_{1}A_{1}B_{1}=60^{\circ}
. Следовательно, точка M
совпадает с точкой C_{1}
, т. е. A_{1}C_{1}
— касательная к указанной окружности.