13883. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Касательная к окружности \Gamma_{2}
в точке A
вторично пересекает окружность \Gamma_{1}
в точке C
, а касательная к окружности \Gamma_{1}
в точке A
вторично пересекает окружность \Gamma_{2}
в точке D
. Луч, проходящий между сторонами угла CAD
, пересекает окружность \Gamma_{1}
в точке M
, окружность \Gamma_{2}
— в точке N
, а описанную окружность треугольника ACD
— в точке P
. Докажите, что AM=NP
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой получаем
\angle ACM=\angle DAM=\angle DAN~\mbox{и}~\angle CAM=\angle CAN=\angle ADN,
поэтому треугольник ACM
подобен треугольнику DAN
по двум углам. Тогда \frac{AM}{AC}=\frac{DN}{AD}
.
Из вписанного четырёхугольника ACPD
получаем, что \angle APD=\angle ACD
и \angle PDC=\angle CAP
. Значит, \angle PDN=\angle CDA
, поэтому треугольники NPD
и ACD
подобны по двум углам. Тогда \frac{NP}{AC}=\frac{DN}{AD}
. Таким образом \frac{AM}{AC}=\frac{NP}{AC}
. Следовательно, AM=NP
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 7, задача M3, с. 444
Источник: Хорватские математические олимпиады. — 2006