13887. Медианы треугольника ABC
пересекаются в точке G
. На продолжении отрезка AG
за точку G
отложен отрезок GD=AG
, а на продолжении отрезка BG
за точку G
— отрезок GE=BG
. Точка M
— середина стороны AB
. Докажите, что четырёхугольник BMCD
вписанный тогда и только тогда, когда AB=BE
.
Решение. Пусть K
— середина стороны BC
. Тогда
GK=\frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}GD,
т. е. точка K
— общая середина диагоналей BC
и DG
четырёхугольника BDCG
. Значит, BDCG
— параллелограмм. Аналогично, AGCE
— параллелограмм. Тогда AE\parallel GC\parallel BD
, поэтому
\angle BEA=\angle DBE=\angle DCM.
Четырёхугольник BMCD
вписанный тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов MBD
и DCM
равна 180^{\circ}
. Получаем
\angle MBD+\angle DCM=180^{\circ}~\Leftrightarrow~(\angle ABE+\angle DBE)+\angle DCM=180^{\circ}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\angle ABE+2\angle BEA=180^{\circ}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\angle ABE+2\angle BEA=\angle ABE+\angle BEA+\angle BAE~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\angle BEA=\angle BAE~\Leftrightarrow~BE=BA.
Что и требовалось доказать.