13888. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, L
и M
— центры вписанных окружностей треугольников ABC
и BCD
соответственно, перпендикуляры, опущенные из точек L
и M
на прямые AC
и BD
соответственно, пересекаются в точке R
. Докажите, что треугольник LMR
равнобедренный.
Решение. Пусть \Gamma
— описанная окружность четырёхугольника ABCD
.
Отметим середину U
той дуги окружности \Gamma
, которая не содержит вершину A
. Тогда UB=UC
. Окружность \Gamma
описана около треугольника ABC
, а AU
— биссектриса угла BAC
, поэтому по теореме о трилистнике (см. задачу 788) UB=UL
. Аналогично, UC=UM
. Значит,
UL=UB=UC=UM,
поэтому треугольник LUM
равнобедренный, и \angle UML=\angle ULM
.
Пусть P
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной AC
, а Q
— — точка касания вписанной окружности треугольника BCD
со стороной BD
. Тогда точка P
лежит на прямой LR
, а точка Q
— на прямой MR
. Из прямоугольных треугольников ALP
и DMQ
получаем
\angle ALP=90^{\circ}-\angle LAP=90^{\circ}-\angle UAC=90^{\circ}-\angle UDB=
=90^{\circ}-\angle MDQ=\angle DMQ.
Значит,
\angle RLM=180^{\circ}-\angle ALP-\angle ULM=
=180^{\circ}-\angle DMQ-\angle UML=\angle RML.
Следовательно, треугольник LMR
равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 8, задача 3, с. 507
Источник: Математические олимпиады Чехии и Словакии. —