1389. Через точку K
, лежащую на окружности с центром O
, проведена хорда KA
(дуга KA
больше 90^{\circ}
) и касательная MP
. Прямая, проведённая через центр O
перпендикулярно радиусу OA
, пересекает хорду AK
в точке B
и касательную MP
— в точке C
. Докажите, что отрезок KC=BC
.
Указание. Докажите, что \angle CKB=\angle CBK
.
Решение. Обозначим \angle CKB=\alpha
. Тогда
\angle OAB=\angle OKA=\angle OKC-\angle CKB=90^{\circ}-\alpha,
\angle CBK=\angle ABO=90^{\circ}-\angle OAB=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha,
поэтому треугольник BCK
— равнобедренный. Следовательно, KC=BC
.
Источник: Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олимпиад. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1971. — № 632, с. 69