13892. Внутри сторон BC
и CD
квадрата ABCD
отметили точки E
и F
соответственно. Оказалось, что прямая, проведённая через точку F
перпендикулярно AE
, проходит через точку G
пересечения прямых AE
и BD
. На отрезке FG
отмечена такая точка K
, что AK=EF
. Найдите угол EKF
.
Ответ. 135^{\circ}
.
Решение. Из точек D
и G
отрезок AF
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AF
. Тогда
\angle GFA=\angle GDA=\angle BDA=45^{\circ}.
Значит, прямоугольный треугольник AGF
— равнобедренный, AG=FE
, а так как по условию AK=EF
, то прямоугольные треугольники AGK
и FGE
равны по катету и гипотенузе. Тогда KG=GE
, значит, острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника EGK
равны 45^{\circ}
. Следовательно,
\angle EKF=180^{\circ}-\angle EKG=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 2, задача 4, с. 99
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2007