13903. Прямая, проходящая через точку T
пересечения медиан треугольника ABC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что 4PB\cdot CQ\leqslant PA\cdot QA
.
Решение. Если PQ\parallel BC
, утверждение верно, так как в этом случае
\frac{AQ}{QC}=\frac{AT}{TM}=2=\frac{AP}{BP},
поэтому \frac{AP\cdot AQ}{QC\cdot BP}=4
, или 4PB\cdot CQ\leqslant PA\cdot QA
.
Пусть прямая PQ
пересекается с прямой BC
в точке S
, причём точка B
лежит между C
и S
. Обозначим \frac{AP}{PB}=x
, \frac{AQ}{QC}=y
, BC=a
. Пусть M
— середина стороны BC
.
По теореме Менелая для треугольника ABC
и прямой PQ
получаем
1=\left|\frac{BS}{SC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AP}{PB}\right|=\frac{BS}{SC}\cdot\frac{x}{y},
откуда \frac{BS}{SC}=\frac{y}{x}
. Тогда
\frac{BS}{BS+a}=\frac{x}{y}~\Rightarrow~BS=\frac{ay}{x-y}.
По теореме Менелая для треугольника ABM
и прямой PQ
получаем
1=\left|\frac{BS}{SM}\cdot\frac{MT}{TA}\cdot\frac{AP}{PB}\right|=\frac{\frac{ay}{x-y}}{\frac{ay}{x-y}+\frac{a}{2}}\cdot\frac{1}{2}\cdot x=\frac{xy}{x+y},
откуда xy=x+y
.
Значит,
\frac{AP}{PB}\cdot\frac{AQ}{QC}=xy=x+y\geqslant2\sqrt{xy}~\Rightarrow~x^{2}y^{2}\geqslant4xy~\Rightarrow~xy\geqslant4.
Следовательно, 4PB\cdot CQ\leqslant PA\cdot QA
. Что и требовалось доказать.