13909. В четырёхугольник ABCD
можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Пусть AB=a
, BC=b
, CD=c
, DA=d
, а I
— центр вписанной окружности. Докажите, что
\frac{IB^{2}}{ab}+\frac{IC^{2}}{bc}+\frac{ID^{2}}{cd}+\frac{IA^{2}}{da}=2.
Решение. Обозначим \angle DAB=\alpha
и \angle ABC=\beta
. Четырёхугольник ABCD
вписанный, поэтому
\angle BCD=180^{\circ}-\alpha,~\angle ADC=180^{\circ}-\beta.
Поскольку I
— точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника ABCD
, то
\angle BAI=\frac{\alpha}{2},~\angle ABI=\frac{\beta}{2}.
Тогда
\angle AIB=180^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2},~
\angle BIC=180^{\circ}-\frac{\beta}{2}-\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha-\beta}{2}.
По теореме синусов из треугольников AIB
и BIC
получаем
\frac{IB}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{a}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}},~\frac{IB}{\sin\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}}=\frac{b}{\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha-\beta}{2}\right)},
откуда
\frac{IB}{a}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}},~\frac{IB}{b}=\frac{\sin\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}}{\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}.
Тогда
\frac{IB^{2}}{ab}=\frac{IB}{a}\cdot\frac{IB}{b}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}.
Аналогично,
\frac{IA^{2}}{da}=\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\frac{\cos\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}.
Значит,
\frac{IB^{2}}{ab}+\frac{IA^{2}}{da}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}+\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\frac{\cos\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}=
=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}=\frac{\frac{1}{2}\sin\alpha+\frac{1}{2}\sin\beta}{\frac{1}{2}(\sin\alpha+\sin\beta)}=1
Аналогично,
\frac{ID^{2}}{cd}+\frac{IC^{2}}{bc}=1.
Следовательно,
\frac{IB^{2}}{ab}+\frac{IC^{2}}{bc}+\frac{ID^{2}}{cd}+\frac{IA^{2}}{da}=\left(\frac{IB^{2}}{ab}+\frac{IA^{2}}{da}\right)+\left(\frac{ID^{2}}{cd}+\frac{IC^{2}}{bc}\right)=1+1=2.
Что и требовалось доказать.