13915. Дан треугольник ABC
со сторонами AB=5
, AC=7
и BC=8
. На стороне AC
отложили отрезок CD=AB
, а на луче BA
— отрезок BE=AC
. Луч ED
пересекает сторону BC
в точке F
. Найдите CF
.
Ответ. \frac{10}{3}
.
Решение. Поскольку
AE=BE-AB=AC-AE=7-5=2=AC-CD=AD,
треугольник DAE
равнобедренный. Обозначим \angle AED=\alpha
. Тогда
\angle CDF=\angle ADE=\angle AED=\alpha,
а так как BAC
— внешний угол равнобедренного треугольника DAE
, то \angle BAC=2\alpha
.
Пусть AG
— биссектриса треугольника ABC
. Тогда
\angle BAG=\alpha=\angle AED=\angle BEF,
поэтому AD\parallel EF
.
По теореме Фалеса
\frac{FG}{GB}=\frac{EA}{AB}=\frac{2}{5}~\mbox{и}~\frac{FG}{CF}=\frac{AD}{CD}=\frac{2}{5},
поэтому
FG=\frac{2}{5}GB~\mbox{и}~FG=\frac{2}{5}CF,
откуда
CF=GB=\frac{5}{5+2+5}\cdot BC=\frac{5}{12}\cdot8=\frac{10}{3}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2012, № 7, задача 6, с. 262