13916. В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC
с основанием BC
точка H
— ортоцентр, а O
— центр описанной окружности. Докажите, что центр описанной окружности BOH
лежит на прямой AB
.
Решение. Пусть M
— центр описанной окружности треугольника BOH
, AA_{1}
и BB_{1}
— высоты треугольника ABC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
.
Тогда
\angle ABH=\angle BCB_{1}=\angle A_{1}CA=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
\angle MBH=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BMH=90^{\circ}-\angle BOH=90^{\circ}-\angle BOA_{1}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Из равенства углов ABH
и MBH
следует, что точка M
лежит на прямой AB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2012, № 7, задача OC32, с. 270
Источник: Британская математическая олимпиада. — 2008-2009