13923. Внутри прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 расположены две равные касающиеся окружности, одна из которых касается катета и гипотенузы, а вторая — двух катетов. Для каждого из этих случаев найдите радиус окружностей.
Ответ. \frac{2}{3}
, \frac{3}{5}
.
Решение. Рассмотрим более общую задачу: найти радиус двух равных касающихся окружностей, расположенных внутри треугольника и вписанных в разные углы треугольника, если известны его стороны.
Рассмотрим треугольник со сторонами BC=a
, AC=b
, AB=c
и площадью S
. Пусть P
и Q
— центры касающихся окружностей радиуса r
, вписанных в углы ABC
и ACB
соответственно и расположенных внутри треугольника, а высота треугольника, проведённая из вершины A
, равна h
. Тогда площадь треугольника ABC
равны сумме площадей треугольников AQC
, APB
, APQ
и трапеции BPQC
, т. е.
S=\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}(a+2r)r+(h-r)r=\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{a}{2}+r+h-r\right)r=
=\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{a}{2}+h\right)r=\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{a}{2}+\frac{2S}{a}\right)r,
откуда
r=\frac{2S}{a+b+c+\frac{4S}{a}}.
Вычислив площадь треугольника (например, по формуле Герона), найдём r
.
Вернёмся к исходной задаче. Пусть BC=a=5
— гипотенуза треугольника ABC
, а AC=b=4
и AB=c=3
— катеты. Касающиеся окружности радиуса r
с центрами P
и Q
вписаны в углы при вершинах B
и A
треугольника или в углы C
и A
. Тогда
S=\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=5.
Следовательно,
r=\frac{2S}{a+b+c+\frac{4S}{b}}=\frac{2\cdot6}{\left(5+4+3+\frac{4\cdot6}{4}\right)}=\frac{12}{12+6}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}
или
r=\frac{2S}{a+b+c+\frac{4S}{c}}=\frac{2\cdot6}{\left(5+4+3+\frac{4\cdot6}{3}\right)}=\frac{12}{12+8}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2013, № 2, задача M504, с. 55
Источник: Канадские математические олимпиады. — 2012