13929. Точки A
, B
, C
и D
лежат на одной прямой в указанном порядке. Точка M
не лежит на этой прямой, причём \angle AMB=\angle CMD
. Докажите, что \frac{\sin\angle BMC}{\sin\angle AMD}\gt\frac{BC}{AD}
.
Решение. Заметим, что
\frac{BC}{AD}=\frac{S_{\triangle MBC}}{S_{\triangle MAD}}=\frac{\frac{1}{2}MB\cdot MC\sin\angle BMC}{\frac{1}{2}MA\cdot MD\sin\angle AMD}=\frac{MB\cdot MC}{MA\cdot MD}\cdot\frac{\sin\angle BMC}{\sin\angle AMD},
поэтому достаточно доказать, что
\frac{MB\cdot MC}{MA\cdot MD}\lt1,~\mbox{или}~MA\cdot MD\gt MB\cdot MC.
Для доказательства последнего неравенства опишем окружность около треугольника AMD
и продолжим отрезок MC
за точку C
до пересечения с этой окружностью в точке N
. Поскольку
\angle AMB=\angle CMD=\angle NMD~\mbox{и}~\angle MAB=\angle MAD=\angle MND,
то треугольники MBA
и MDN
подобны по двум углам, значит, \frac{MA}{MB}=\frac{MN}{MD}
. Следовательно,
MA\cdot MD=MB\cdot MN\gt MB\cdot MC.
Что и требовалось.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2013, № 4, задача 3735 (2012, 150, 151), с. 194