1393. Через произвольную точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые параллельные сторонам треугольника. При этом треугольник разбивается на три параллелограмма и три треугольника. Докажите, что произведение площадей параллелограммов в восемь раз больше произведения площадей треугольников.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Пусть точка M
лежит на стороне BC
треугольника ABC
, а прямые, проведённые через эту точку параллельно сторонам AB
и AC
, отсекают от треугольника ABC
треугольники с площадями S_{1}
и S_{2}
. Тогда площадь оставшегося параллелограмма равна 2\sqrt{S_{1}S_{2}}
.
Если указанные прямые пересекают стороны AB
и AC
в точках P
и Q
и при этом S_{\triangle CQM}=S_{1}
и S_{\triangle BPM}=S_{2}
, то
\frac{\frac{1}{2}S_{APMQ}}{S_{2}}=\frac{S_{\triangle APM}}{S_{2}}=\frac{AP}{PB}=\frac{QM}{PB}=\frac{\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S_{2}}},
откуда находим, что
S_{APMQ}=2\sqrt{S_{1}S_{2}}.
Пусть теперь S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
— площади треугольников, на которые разбивают данный треугольник три прямые, указанные в условии задачи. Тогда по доказанному площади параллелограммов равны 2\sqrt{S_{1}S_{2}}
, 2\sqrt{S_{2}S_{3}}
и 2\sqrt{S_{1}S_{3}}
. Следовательно, произведение этих площадей равно 8S_{1}S_{2}S_{3}
.