13935. Диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
перпендикулярны и пересекаются в точке I
. Докажите, что этот четырёхугольник вписанный тогда и только тогда, когда BC\cdot AD=IA\cdot IB+IC\cdot ID
.
Решение. Обозначим \angle ADB=\theta
и \angle ACB=\varphi
. Тогда
\frac{IA\cdot IB+IC\cdot ID}{BC\cdot AD}=\frac{ID}{AD}\cdot\frac{IC}{BC}+\frac{IA}{AD}\cdot\frac{IB}{BC}=
=\cos\theta\cos\varphi+\sin\theta\sin\varphi=\cos(\theta-\varphi).
Значит,
\theta=\varphi~\Leftrightarrow~\frac{IA\cdot IB+IC\cdot ID}{BC\cdot AD}=1.
Следовательно, четырёхугольник ABCD
вписанный тогда и только тогда, когда
BC\cdot AD=IA\cdot IB+IC\cdot ID.
Что и требовалось доказать.