13938. На диаметре AB
окружности расположена фиксированная точка P
. Точка X
, отличная от A
и B
, лежит на окружности. Докажите, что отношение \frac{\tg\angle AXP}{\tg\angle XAP}
одно и то же для любой такой точки X
.
Решение. Обозначим \angle XAP=\alpha
и \angle AXP=\beta
. Точка X
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle AXB=90^{\circ}
. Тогда
\angle BXP=\angle AXB-\angle AXP=90^{\circ}-\beta,
\angle BPX=\angle ABX=90^{\circ}-\alpha.
Применив теорему синусов к треугольникам AXP
и PXB
получим
\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{PX}{PA},~\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}=\frac{\sin(90^{\circ}-\alpha)}{\sin(90^{\circ}-\beta)}=\frac{PX}{PB}.
Значит,
\frac{\tg\angle AXP}{\tg\angle XAP}=\frac{\tg\beta}{\tg\alpha}=\frac{\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}=\frac{PA}{PX}\cdot\frac{PX}{PB}=\frac{PA}{PB}.
Последнее отношение не зависит от положения точки X
на окружности. Отсюда следует утверждение задачи.